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解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2√2 ，即DQ+PQ的最小值为2√2
解：作d关于ae的对称点d′，再过d′作d′p′⊥ad于p′，
∵dd′⊥ae，
∴∠afd=∠afd′，
∵af=af，∠dae=∠cae，
∴△daf≌△d′af，
∴d′是d关于ae的对称点，ad′=ad=4，
∴d′p′即为dq+pq的最小值，
∵四边形abcd是正方形，
∴∠dad′=45°，
∴ap′=p′d′，
∴在rt△ap′d′中，
2p′d′2=ad′2，即2p′d′2=16，
∴p′d′=2√2 ，即dq+pq的最小值为2√2.
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DQ+PQ最小值为1.414，及根号2
解法，可在AC上找一点M，让AP=AM，此时由于角MAQ和角PAP一样大，并且边AP=AM切AQ=AQ，证明三角形APQ和AMQ全等，及PQ=MQ。再看三角形DQM，MQ+DQ>DM，当Q在移动，且Q移动到DM上时候，MQ+DQ=DM此时的值最小，根据相关数据可得出值为1.414