设1个鸡蛋x元，1个鸭蛋y元，1个鹅蛋z元，依题意得
13x+5y+9z=12.7
2x+4y+3z=4.7
可以解得y=x+0.2,z=1.3-2x
所以买鸡蛋，鸭蛋，鹅蛋各一个=x+y+z=x+x+0.2+1.3-2x=1.5元
教学中有这样一个题目:某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋只用12.7元;买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹅蛋只用4.7元;则买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个要 元. 我们都知道,这是一个数学建模的过程,此题建模并不难.学生学习了三元一次方程组之后,很容易建出数学模型.建模如下:设鸡蛋一个x元,鸭蛋一个y元,鹅蛋一个z元,列方程组为
,求x+y+z的值. 解决此问题的常规方法:先用消元思想将三元一次方程组消成二元一次方程,然后用含有一个未知数的式子表示另外一个未知数,再将这个式子代入任意一个方程,得到含另两个字母的方程,也用含有上述未知数的式子表示第三个未知数,最后用代入法将式子进行化简,这种题在最后的计算中未知数往往都合并得0,从而达到求解的目的.具体解法如下: ①―②*3得7x-7y=-1.4, x-y=-0.2,用含y的式子表示x, x=y-0.2 将x=y-0.2代入②中得2(y-0.2)+4y+3z=4.7, 6y+3z=5.1,也用含y的式子表示z,即 z=-2y+1.7 将x=y-0.2,z=-2y+1.7代入要求的式子x+y+z中,即 原式=y-0.2+y+(-2y+1.7)=1.5 我个人觉得这个解法对学生的分析能力,计算能力,解决问题的能力都要求很高,再加上在现行的人教版教材中,解三元一次方程组是作为选学内容呈现的.三元消二元对某些同学来说就是一个难点,对于中等程度的学生正确地完成此题可能也需一些时间.于是我思考有没有更简便一些的方法呢?思索中产生了如下一个想法:能否从两个已知方程和待求式子中未知数的系数入手来解决? 通过观察,三个式子中的对应系数依次为13、5、9；2、4、3；1、1、1,意即方程①中对应字母的系数与方程②中对应字母的系数的差应为1,即可求解.于是我假定方程①左边各项系数都乘以不为0的常数a,方程②左边各项系数都乘以不为0的常数b,并且使得其减后的对应字母系数为所求式子的对应字母系数1,于是列出如下方程组. 选择三个方程中较简单的两个组成二元一次方程组,例如 解得意即①*―②*(−)便可求得x+y+z的值.过程如下: ①*得: x+y+z = ③ ②*(−)得: −x−y−z =− ④ ③−④得 x+y+z =1.5 也有的题目的系数之间关系紧密,可以一眼看出其关系,从而得解.例如:已知 , 求x+y+z的值. 此题用①*3―②*2即可求解.这是对乘法运算很熟练并且观察能力非常强的学生才能在短时间内完成,对于中等程度的同学还有一定难度.若用我上述所谈的方法求解,详解见下:先由系数关系列出方程组 联立 解得 ①*3―②*2: 9x+21y+3z-(8x+20y+2z)=21-16 去括号得 x+y+z=5 像上述这样,从每个未知数的系数特点出发,便省去了消元与代入计算中的繁琐,更好地运用了转化思想与整体的数学思想,使学生的思维更上一个台阶.