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您好，第一个问题，自用工关系建立之日起一个月内，用人单位与员工签订书面劳动合同都不属于违法，结合您的情况，上了5天班，公司没有跟您签订书面劳动合同不属于违法；第二个问题，员工只要向单位提供了劳动，就有权主张用人单位支付劳动报酬，5天班同样有权要求用人单位发放工资，如果单位不予发放，可以到当地老定居申请劳动监察进行维权；第三个问题，办健康证与上岗并没有必然联系，即使没有要求您办理健康证，直接让您上班，也没有违反法律规定。
劳动合同可以在入职一个月内签订，只要正式上班，哪怕是一天，也是要发工资。