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你好！根据你的描述个人认为应该是手机系统损坏了！建议你电脑端线刷刷机重置系统！金立E6是通过MTK平台flashtool线刷工具进行一键刷机的，具体的操作你可以参考一下：
http://shuajitt.com/firmwarelist/gionee-e6/ （选择你对应的机型及型号打开）
内含金立E6的官方ROM包及详细的刷机教程，你只需下载解压好金立E6的ROM包，按照里面详细的教程操作，安装驱动，通过内置的线刷工具进行一键刷机即可！
亲测过！安全有效！你可以尝试一下！希望能帮助到你！
关于自动关机的问题，看看是否是有软件冲突，拔下内存卡看看，如果还是不行的话只有恢复出厂设置或是刷机了。
由于E6采用内置电池，长时间没有充电（电池电量低于3.5V的情况）或者由于电池被保护导致不开机的快速解决方法：插上充电线，长按开机键10妙左右，然后在拔掉充电线，再插上充电线给手机充电，一般情况下几分钟内就可以有充电符号、正常开机。