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先说一下：这里W1+W2指的是一个新的集合W，,其元素是w1+w2其中w1属于W1，w2属于W2。 以下是证明：（w1、w2是V的线性子空间）（V定义在属于F上）首先{0}属于W1、W2故{0}也属于W；任意w3、w4属于W，存在w5、w6属于W1，w7、w8属于W2，使得w5+w7=w3、w6+w8=w4；因为W1、W2是V的线性子空间，所以w5+w6属于W1、w7+w8属于W2，而w3+w4=（w5+w6）+（w7+w8）也属于W，所以W关于加法是封闭的。此外，任意数a属于数域F，a*w5属于W1，a*w7属于W2；所以a*w3=a*(w5+w7)=a*w5+a*w7也属于W；说明W对于标量乘法也是封闭的。综合，{0}属于W、W对于加法封闭、W对于标量乘法封闭，所以W是V的线性子空间。证毕