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当然可以申请单位代办，这是你应该享受的权利。一般需要3个月的时间就可以办理下来医保卡。
看得出用人单位极不负责任.
你不用担心,可以使用法律来保护自己,根据《劳动法》的相关规定，用人单位必须跟员工签订劳动合同并购买保险，因此购买社保是必须的，属于强制保险，因此你可以跟用工单位协商解决，无果的情况下，申请劳动仲裁或向当地劳动保障部门反映并投诉，是可以得到有效解决的。
其证据就是证明跟单位有劳动关系，比如工资条，工牌等。
一般需要补交所欠的月份.
一、办理养老保险手册流程如下：
1、需携带资料：
（1） 职工身份证复印件;
（2） 1寸照片两张。
2、办理程序：由单位经办人员、灵活就业人员本人到我局登记核定大厅申请办理。
3、办结时限：
（1）个人办理的，经审核无误后，当即予以办理，并发给《养老保险手册》；
（2） 单位职工人数较多的，正常情况下自受理之日起3个工作日内办理完结。
二、办理医保卡流程如下：
1、领表和填表参保登记后，参保单位经办人将《社会保障(市民)卡申领表》双面复印后发给每位新参保人，并指导新参保人按照申领规则的要求填写申领表。
2、照相参保单位经办人于参保登记次月3日前，安排新参保人携带身份证(或军官证、护照)前往社保(市民)卡定点照相馆，拍摄社保(市民)卡数码照片，并将照片回执粘贴在申领表相应的位置。
3、代收申领表和工本费请参保单位经办人于参保登记次月19日前，将新参保人已填写完整的《社会保障(市民)卡申领表》收齐，同时代收社保(市民)卡工本费20元/人。
4、交表、缴费并领卡医保开户银行将通知参保单位于参保登记次月19日后，前往广州市医保中心办理交表、缴费及领卡手续。交表、缴费和领卡流程：可集中在医保中心服务大厅各指定窗口办理。
5、发卡参保单位经办人须在领卡后一周内将社保(市民)卡发放给参保人。