4个回答
y=ax+b/x，当ab>0时，称为对勾函数。
如果ab<0，不是对勾函数。
【不用导数计算】
若a>0
❶当x>0时，ax>0，b/x>0。
y=ax+b/x≥2√(ax*b/x)=2√(ab)【最小值】
最小点满足方程：ax=b/x，x²=b/a，x=√(b/a)。
单调递减区间：0<x<√(b/a)；单调递增区间：x>√(b/a)。
❷当x<0时，ax<0，b/x<0。
y=ax+b/x≤-2√(ax*b/x)=-2√(ab)【最大值】
最大点满足方程：ax=b/x，x²=b/a，x=-√(b/a)。
单调递增区间：x>-√(b/a)；单调递减区间：-√(b/a)<x<0。
若a<0，用类似方法，可以同样解决。
前面几位答主介绍了微积分求导的方法确定对勾函数的单调递增、递减区间的分界点。
这里提供一个不太严格的方法，只需要利用高中的基本不等式的知识即可。
假设
f(x)=ax+b/x,（ab>0）.
那么根据基本不等式得知，
当x＞0时，
ax+b/x≥2√ab，当且仅当
ax=b/x即为x=+√(b/a)时取到等号，所以x=+√(b/a)就是一个极小值点，也是函数f在x>0时的“分界点”。
同理，当x<0时，利用基本不等式，
ax+b/x≤-2√ab，当且仅当
ax=b/x即为x=-√(b/a)时取到等号，
可得x=-√(b/a)时一个极大值点，也是f在x<0时的“分界点”。
如下图所示
单调递增、递减区间一目了然。
回答完毕。
可用导数求极点
设对勾函数 f(x)=ax+b/x（ab>0）
求导得 f‘（x）=a-b/x²
令 f‘（x）=0，得x=±√(b/a)
即对勾函数的极点横坐标为±√(b/a)
令k=√(b/a)
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}
可用导数求极点
设对勾函数 f(x)=ax+b/x（ab>0）
求导得 f‘（x）=a-b/x²
令 f‘（x）=0，得x=±√(b/a)
即对勾函数的极点横坐标为±√(b/a)
令k=√(b/a)
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0